Jihočeský rodák začínal s hokejem v Písku, odkud v juniorském věku následně zamířil do Českých Budějovic. Mládežnický reprezentant si svými skvělými výkony řekl o zájem z Kanady, v OHL však vydržel jednu sezonu, po které se vrátil zpátky na jih Čech. V barvách Mountfieldu se následně učil od Romana Turka, vedle kterého během prvních 23 extraligových střetnutí naznačil, že ho čeká velká budoucnost. V dalších sezonách převzal Jakub Kovář pozici českobudějovické jedničky, když z pozice trojky dovezl bronz ze světového šampionátu v roce 2011 a stejnou medaili vychytal už jako jednička o rok později.

V roce 2013 pak udělal další skok v kariéře, když zamířil do ruského Jekatěrinburgu. S roční zastávkou v Čerepovci strávil v Avtomobilistu osm sezon, v nichž se zařadil mezi gólmanskou špičku celé soutěže a z průměrného týmu vytvořil stabilního účastníka play off. Ačkoliv se během let spekulovalo o zájmu z NHL, i přes výrazný interes Philadelphie nakonec k expanzi za moře nedošlo. Skvěle rozjetou kariéru navíc přibrzdilo zranění, po němž se mluvilo dokonce o předčasném konci, jenže český brankář se dal dohromady a vrátil se na vrchol.

V průběhu sezony 2021/2022 využil šance od Curychu, kterému skvělými výkony vychytal finále play off. V něm ovšem Lions ztratili vedení 3:0 na zápasy, načež se z titulu radoval Zug, v jehož barvách zářil brankářův bratr Jan. Už před sérií však Kovář oznámil, že ve Švýcarsku končí, jelikož se chtěl vrátit zpět do Česka, kde se nakonec dohodl na smlouvě se Spartou. Trenéři s ním od začátku sezony počítali na post gólmanské jedničky, což také splnili. Zkušený matador si zachytal v 41 zápasech a v play off svého parťáka Josefa Kořenáře už do branky nepustil. Ani Kovář však rychlému konci Sparty ve vyřazovacích bojích nezabránil a musel skousnout konec ve čtvrtfinále.