Rodák z Nových Zámků působil během svých mládežnických let ve Slovanu Bratislava, kde si dvě sezony po sobě ve starším dorostu držel průměr bodu na zápas. V ročníku 2007/2008 poprvé nakoukl do juniorského týmu, poté se odebral do zámoří. Ve své premiérové sezoně v juniorské WHL (Western Hockey League) nasbíral v dresu Vancouver Giants 39 bodů v 81 zápasech. V ročníku 2009/2010 se po pěti utkáních v dresu Giants přesunul do týmu Red Deer Rebels, kde strávil dvě sezony. V té první si připsal 54 bodů v 67 zápasech, ve druhé už skvělých 90 bodů v 74 duelech (31 gólů a 59 nahrávek). Není divu, že po takové sezoně nechyběl na juniorském mistrovství světa, kde bral se slovenským týmem osmé místo.

V létě 2011 se Kudrna vrátil domů a zamířil opět do Slovanu. Za A-tým odehrál 44 zápasů a na konci sezony se spolu se svými spoluhráči radoval ze zisku mistrovského titulu. V ročníku 2012/2013 už Slovan působil v Kontinentální hokejové lize, kde Kudrna naskočil jen do 13 zápasů a zbytek sezony strávil ve Skalici. Stejný scénář měla i sezona následující, ve které nakoukl do KHL pouze na jediný duel. V ročníku 2014/2015 už si připsal 21 startů v KHL a tři kanadské body, dalších 50 zápasů s bilancí 42 bodů odehrál za Banskou Bystrici. Následně podruhé opustil Slovensko, ale nestěhuje se daleko. Podepsal totiž smlouvu s pražskou Spartou, ve které ho čekala premiéra v české extralize.

A na začátek si v ní vedl slušně. Fanoušky si získal zejména svou bojovností a obětavostí při bránění nejlepších hráčů soupeře či oslabení. Slovenský útočník však také bodoval, když si připsal devět gólů a pět asistencí s bilancí +8. Ve vyřazovacích bojích zaznamenal tři trefy. Kudrna během sezony také pravidelně reprezentoval a vstřelil tři branky. Ve své druhé sparťanské sezoně nasbíral rovných 20 kanadských bodů, se 12 góly patřil k nejlepším sparťanským střelcům. Poprvé se představil na seniorském světovém šampionátu, kde vstřelil jednu branku. V ročníku 2017/2018 byl s 27 kanadskými body třetím nejproduktivnějším sparťanským hráčem a reprezentoval Slovensko na mistrovství světa i zimních olympijských hrách.

V sezoně 2018/2019 slovenský útočník znovu odehrál kompletní porci 52 kol v základní části, avšak svoje bodově nejplodnější období ve Spartě prožil až v uplynulém ročníku, ve kterém zaznamenal celkem 29 bodů. Svou hrou vynikal také v tabulce +/-, kde se šestnácti plusovými body patřil k nejlepším hráčům v sestavě.